Question

2．已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，将边AB绕着点A旋转至AB′位置，且AB′与AC边之间的夹角为30°，那么线段BB′的长等于4或4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分类讨论：如图1，∠B′AC=30°，则∠BAB′=60°，由旋转的性质得AB=AB′，则可判断△ABB′为等边三角形，于是有BB′=AB=4；如图2，∠B′AC=30°，则∠BAB′=120°，再由旋转的性质得AB=AB′=4，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABB′=∠AB′B=30°，作AH⊥BB′于H，根据等腰三角形的性质得BH=B′H，然后在Rt△ABH中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=2$\sqrt{3}$，于是得到BB′=2BH=4$\sqrt{3}$

解答 解：如图1，∠B′AC=30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAB′=60°
即边AB绕着点A顺时针旋转60°至AB′位置，
∴AB=AB′，
∴△ABB′为等边三角形，
∴BB′=AB=4；
如图2，∠B′AC=30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAB′=120°
即边AB绕着点A顺时针旋转60°至AB′位置，
∴AB=AB′=4，
∴∠ABB′=∠AB′B=30°，
作AH⊥BB′于H，则BH=B′H，
在Rt△ABH中，∵∠ABH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$BA=2，
BH=$\sqrt{3}$AH=2$\sqrt{3}$，
∴BB′=2BH=4$\sqrt{3}$，
综上所述，BB′的长为4或4$\sqrt{3}$．
故答案为4或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．