Question

【题目】如图，二次函数 (a 0) 与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于点 B，P 为 抛物线的顶点，连接 AB，已知 OA：OC=1:3.

（1）求 A、C 两点坐标；

（2）过点 B 作 BD∥x 轴交抛物线于 D，过点 P 作 PE∥AB 交 x 轴于 E，连接 DE，

①求 E 坐标；

②若 tan∠BPM=，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），C（3，0）；（2）① E（-，0）；②原函数解析式为：．

【解析】

(1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E,所以设A（-m，0），C（3m，0），结合对称轴即可求出结果；

(2) ①过点P作PM⊥x轴于点M，连接PE，DE，先证明△ABO△EPM得到，找出OE=，再根据A（-1，0）代入解析式得：3a+c=0，c=-3a，即可求出OE的长，则坐标即可找到；

②设PM交BD于点N；根据点P（1，c-a），BN‖AC，PM⊥x轴表示出PN=-a，再由tan∠BPM=求出a，结合（1）知道c，即可知道函数解析式．

（1）∵二次函数为：(a<0)，

∴对称轴为，

过点P作PM⊥x轴于点M，

则M（1，0），M为AC中点，

又OA：OC=1：3，

设A（-m，0），C（3m，0），

∴，

解得：m=1，

∴A（-1，0），C（3，0），

（2）①做图如下：

∵PE∥AB，

∴∠BAO=∠PEM，

又∠AOB=∠EMP，

∴△ABO△EPM，

∴ ，

由（1）知：A（-1，0），C（3，0），M（1，0），B（0，c），P（1，c-a），

∴，

∴OE=，

将A（-1，0）代入解析式得：3a+c=0，

∴c=-3a，

∴ ，

∴E（-，0）；

②

设PM交BD于点N；

∵(a<0)，

∴x=1时，y=c-a，即点P（1，c-a），

∵BN‖AC，PM⊥x轴

∴NM= BO=c，BN=OM=1，

∴PN=-a，

∵tan∠BPM=，

∴tan∠BPM=，

∴PN=，

即a=-，

由（1）知c=-3a，

∴c=；

∴原函数解析式为：．