Question

已知多项式x⁴+4x³+3x²+px+q被x²+2x+1除时，所得的余式为-x，求p，q．

Answer 1

考点：整式的除法

专题：

分析：首先由多项式x⁴+4x³+3x²+px+q除以x²+2x+1所得的余式为-x，根据余式定理可设x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），然后分别整理等式的左右两边，再根据多项式相等时对应系数相等，即可得方程组

a+2=4 2a+b+1=3 a+2b=p+1 b=q

，解方程组求得p，q的值．

解答：解：∵多项式x⁴+4x³+3x²+px+q除以x²+2x+1所得的余式为-x，
∴可设x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），
整理可得：x⁴+4x³+3x²+（p+1）x+q=x⁴+（a+2）x³+（2a+b+1）x²+（a+2b）x+b，
∴

a+2=4 2a+b+1=3 a+2b=p+1 b=q

，解得

a=2 b=-2 p=-3 q=-2

．
故p=-3，q=-2．

点评：此题考查了余式定理，多项式乘以多项式的运算法则，以及方程组的解法．此题难度适中，解题的关键是根据题意设x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），然后根据多项式相等的性质求解．