Question

【题目】如图，二次函数y=kx2+2kx﹣3k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=OA．

（1）点A坐标为　 　，点B坐标为　 　，抛物线的解析式为　 　；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、CP，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）若点Q（0，m）是y轴上的动点，连接AQ、BQ，

①当∠AQB是钝角时，求m的取值范围；

②当∠AQB=60°时，则m=　 　．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3（2）（，）（3）或-

【解析】

（1）先将y=kx2+2kx﹣3k因式分解的y=k（x+3）（x﹣1），求出与x轴的交点,再根据OC=OA，求出k，即可；

（2）先求出△ABC的面积是=6，再跟据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACP的面积，得出当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，设点P的坐标为（p，﹣p2﹣2p+3），设过点A（﹣3，0），点C（0，3）的直线解析式为y=dx+e，最后列出△ACP的面积关系式即可；

（3）①如右图2所示，当∠AQB=90°时，根据AQ2+BQ2=AB2，解得m=，所以当∠AQB是钝角时，m的取值范围是﹣＜m＜时；

②作AH⊥QB于H，根据∠AHQ=90°，∠AQH=60°，得AH=AQ，QH=，得AH=，QH=，AB=4，根据AH2+BH2=AB2，解得，m=或m=﹣.

（1）∵y=kx2+2kx﹣3k=k（x2+2x﹣3）=k（x+3）（x﹣1），

∴当y=0时，x=﹣3或x=1，当x=0时，y=﹣3k，

∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），OC=﹣3k，OA=3，

∵OA=OC，

∴﹣3k=3，

∴k=﹣1，

∴抛物线的解析式为：y=y=﹣x2﹣2x+3，

故答案为：（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如右图1所示，

∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，3），

∴△ABC的面积是=6，

∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACP的面积，

∴当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，

设点P的坐标为（p，﹣p2﹣2p+3），

设过点A（﹣3，0），点C（0，3）的直线解析式为y=dx+e，

，得，

∴直线AC的解析式为y=x+3，

当x=p时，y=p+3，

∴△ACP的面积是； =﹣（p+）2+，

∴当p=时，△ACP的面积最大，

∴点P（，）；

（3）①如右图2所示，

当∠AQB=90°时，

∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点Q（0，m），

∴AQ2+BQ2=AB2，

∴[（﹣3）2+m2]+[12+m2]=[1﹣（﹣3）]2，

解得，m=，

∴当∠AQB是钝角时，m的取值范围是﹣＜m＜时

②作AH⊥QB于H，

∵∠AHQ=90°，∠AQH=60°，

∴AH=AQ，QH=，

∵点A（﹣3，0），点Q（0，m），点B（1，0），

∴AH=，QH=，AB=4，

∵AH2+BH2=AB2，

=42，

解得，m=或m=﹣，

故答案为：或﹣．