题目内容

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，A（3，0）、B（m， $数学公式$ ）是以OA为直径的⊙M上的两点，且tan∠AOB= $数学公式$ ，BH⊥x轴，垂足为H
（1）求H点的坐标；
（2）求图象经过A、B、O三点的二次函数的解析式；
（3）设点C为（2）中的二次函数图象的顶点，问经过B、C两点的直线是否与⊙M相切，请说明理由．
注：抛物线y=ax²+bx+c（c≠0）的顶点为 $数学公式$ ．

解：（1）∵tan∠AOB= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵B（m， $\text{[math]}$ ），∴OH= $\text{[math]}$ ；
∴H点的坐标（ $\text{[math]}$ ，0）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∴B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
将A、B、O三点坐标代入得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴二次函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（3）∵抛物线y=ax²+bx+c（c≠0）的顶点为 $\text{[math]}$ ．
∴C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C坐标代入得， $\text{[math]}$ ，
解得k=- $\text{[math]}$ ，b=3，
∴直线BC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+3，
∵M（1.5，0），
∴直线BM的解析式为y=- $\text{[math]}$ x-2，
∴BM⊥BC，
∴经过B、C两点的直线与⊙M相切．
分析：（1）已知了tan∠AOB= $\text{[math]}$ 和B（m， $\text{[math]}$ ），可求得OH的长，即可得出H点的坐标；
（2）先设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，由（1）可求得点B的坐标，将A、B、O三点的坐标代入二次函数的解析式即可；
（3）求得点C的坐标，再求出直线BC的解析式，直线BM和BC的一次项系数互为负倒数，则两直线垂直，即可得出是否与⊙M相切．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的判定、二次函数的顶点、一次函数解析式的求法等重要知识．