Question

19．如图，?ABCD中，∠DAB的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，∠ABC的平分线交AD于点H，交AF于点G．
（1）求证：CE=CF；
（2）若AB=6，AD=9，BH=8$\sqrt{2}$，求△CEF的周长．

Answer 1

分析 （1）由?ABCD中，∠DAB的平分线交BC于E，可证得∠BAE=∠AEF，又由∠BAE=∠F，∠AEF=∠CEF，即可证得∠CEF=∠F，证得CE=CF；
（2）由?ABCD中，∠DAB的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，∠ABC的平分线交AD于点H，交AF于点G，易得△ABE是等腰三角形，则可求得BE的长，易证得△FEC∽△FAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得各边长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE=∠F，∠DAE=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠CEF=∠F，
∴CE=CF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=9，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=6，
∴CE=BC-BE=3，
∴CF=CE=3，
∵△FEC∽△FAD，
∴EC：AD=EF：AF=3：9=1：3，
∴AE：EF=2：1，
∵BG⊥AE，
在Rt△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴AE=2AG=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴△CEF的周长为：CE+CF+EF=3+3+2=8．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ABE，△CEF是等腰三角形，△FEC∽△FAD是解此题的关键．