Question

【题目】如图，在△ABC中，O为AC上一点以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC=6，tan∠ABC，求OD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得OB3，再证△ABD∽△OBC得，据此可得AD=2，再根据OD求解可得答案．

（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵AD⊥BO于点D，

∴∠D=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°．

∵∠AOD=∠BAD，

∴∠ABD=∠OAD，

又∵BC为⊙O的切线，

∴AC⊥BC，

∴∠BCO=∠D=90°．

∵∠BOC=∠AOD，

∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，

在△BOC和△BOE中，

∵，

∴△BOC≌△BOE（AAS），

∴OE=OC．

∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，

∴∠EOA=∠ABC．

∵tan∠ABC、BC=6，

∴AC=BCtan∠ABC=8，

则AB=10，

由（1）知BE=BC=6，

∴AE=4．

∵tan∠EOA=tan∠ABC，

∴，

∴OE=3，

则OC=OE=3，

∴AO=5，OB3，

∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴，即，

∴AD=2，

∴OD．