题目内容

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2cm，∠B=60°．
（1）可得梯形ABCD的周长L=cm，面积S=cm²；
（2）如图2，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF．设BF=xcm，△BEF的面积为ycm²， $数学公式$ （k是常数）．
①试用含x的代数式表示y；
②如果 $数学公式$ ，且k为整数，求BF的长．

解：（1）如图1，作DM∥AB交BC与点M．则四边形ABMD是平行四边形，△DMC是等边三角形．
则BM=AD=2cm，MC=DC=AB=2cm．
则梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BM+MC+CD=10cm．
过点D作DN⊥BC，则DN=sin∠C•CD=sin60°•CD= $\text{[math]}$ ×2= $\text{[math]}$ ；
故梯形ABCD的面积=（AD+BC）•DN÷2=3 $\text{[math]}$ ；
故答案是：10；3 $\text{[math]}$ ；

（2）如图2．
①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高DN= $\text{[math]}$ ，
∴S_△BEF= $\text{[math]}$ BF× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x，即y= $\text{[math]}$ x；
②∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =k（k为常数），
∴ky=S，
∴k× $\text{[math]}$ x=3 $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∵0＜x≤4，k为整数，
∴x=1，2，3，
即BF的长为：1cm、2cm、3cm．
分析：（1）作DM∥AB交BC与点E．则四边形ABCD是平行四边形，△DMC是等边三角形，即可求得CD，BE的长度，从而求得该梯形的周长；过点D作DN⊥MC，在等边三角形DMC中利用特殊角的三角函数的定义求得DF的长度，根据梯形的面积公式解答即可；
（2）①根据三角形BEF的高与梯形ABCD的高相等，列出等式2y= $\text{[math]}$ x，从而用含x的代数表示y；
②根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =k（k为常数），将已知量代入，即得到x（BF）的值．
点评：本题考查了平行四边形的判定，梯形周长，面积的计算，及函数思想．注意x的取值范围应该根据题中BC的长度来确定．