Question

△ABC中，∠BAC=∠ACB。
（1）如图，E是AB延长线上一点，连接CE，∠BEC的平分线交BC于点D，交AC于点P，求证：∠CPD=90°-∠BCE；（2）若E是射线BA上一点（E不与A、B重合），连接CE，∠BEC的平分线所在直线交BC于点D，交CA所在直线于点P，∠CPD与∠BCE有什么关系？请画出图形，给出你的结论，并说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵EP平分∠BEC， ∴∠BEP=∠CEP．△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°， ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB， ∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°， ∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°， ∵∠CPD=∠A+∠BEP， ∴2∠CPD+∠BCE=180°， ∴∠CPD=90°-∠BCE； （2）结论：∠CPD=∠BCE， 理由如下：解：设∠CAB=∠ACB=α， ∵ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED， 设∠BED=∠CED=β， 则∠CEB=2β， 分两种情况：i）若点E在BA上（E不与A、B重合， 如图，∵∠ACE=∠ACB-∠BCE， ∴∠ACE=α-（2α-2β）=2β-α， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β， ∵∠CPD=∠CED-∠ACE， ∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β， ∴∠CPD=∠BCE； ii）若E在BA的延长线上， 如图，∵∠ACE=∠CAB-∠CEB， ∴∠ACE=α-2β， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β， ∵∠CPD=∠ACE+∠CEP， ∴∠CPD=α-2β+β=α-β， ∴∠CPD=∠BCE， 综上，可知∠CPD=∠BCE。