Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=

3

，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：首先构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP．根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值．再根据角间的关系求得∠QAP=60°，进而得到△APQ为直角三角形、△BQP为直角三角形．再利用勾股定理求得AB²的长．利用正弦定理与三角形的面积计算公式求得△ABC的面积．

解答：解：如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2．
∴AQ=2AP=2

3

，BQ=2CP=4，
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．
由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=

3

AP=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，从而∠BQP=90°，
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，
∴AM=PQ，MQ=AP，
∴AB²=AM²+（QM+BQ）²=PQ²+（AP+BQ）²=28+8

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

3

8

AB2=

6+7 3

2

=3+

7 3

2

．
故答案为：3+

7 3

2

．

点评：本题考查三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，根据相似三角形的性质及勾股定理求得AB²的值．