Question

我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=

k

x+2

（k≠0）的图象是由反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．
如图，已知反比例函数y=

4

x

的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．
（1）写出点B的坐标，并求a的值；
（2）将函数y=

4

x

的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．
①求n的值；
②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；
③直接写出不等式

4

x-1

≤ax-1的解集．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：1）直接把A点坐标代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标；
（2）①根据题意得到函数y=

4

x

的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=

4

x-n

，然后把M点坐标代入即可得到n的值；
②根据题意易得图象C′的解析式为y=

4

x-1

；图象l′的解析式为y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1可理解为比较y=

4

x-1

和y=x-1的函数值，由于y=

4

x-1

和y=x-1为函数y=

4

x

的图象和直线AB同时向右平移1个单位长度，得到的图象；而反比例函数y=

4

x

的图象与正比例函数y=ax（a≠0）的图象的交点为A（2，2）和B（-2，-2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（-1，-2），则当x＜-1或0＜x＜2时，函数y=

4

x-1

的图象都在y=x-1的函数图象上方．

解答：解：（1）把A（2，2）代入y=ax得 2a=2，
解得a=1．
∵反比例函数y=

4

x

的图象与正比例函数y=x的图象的交点关于原点对称，
∴B点坐标为（-2，-2）；

（2）①函数y=

4

x

的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=

4

x-n

，
把M（2，4）代入得4=

4

2-n

，解得n=1；
②图象C′的解析式为y=

4

x-1

；图象l′的解析式为y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1的解集是x≥3或-1≤x＜1．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式；会运用图形的平移确定点的坐标和同时提高阅读理解能力．