Question

7．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=$\frac{1}{2}$AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．
（1）∠C的最大度数为30°；
（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；
（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．

解答 解：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：
∵sin∠OCP=$\frac{OP}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°，
故答案为：30°；

（2）有最大值，理由：
∵△OPC的边OC是定值，
∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，
而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，
取得最大值，即此时OC边上的高最大，
也就是高为半径长，
∴最大值S_△OPC=$\frac{1}{2}$OC•OP=$\frac{1}{2}$×6×3=9；

（3）证明：连结AP，BP，如图2，
在△OAP与△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOP=∠BOD}\\{OP=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBD，
∴AP=DB，
∵PC=DB，∴AP=PC，
∵PA=PC，∴∠A=∠C，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴CO=OB+OB=AB，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠A=∠C}\\{AB=CO}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO，
∴∠CPO=∠APB，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠CPO=90°，
∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形面积的最值，知道PC与⊙O相切时，∠OCP最大是解决（1）的关键，知道当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大是解决（2）的关键．