Question

已知，M是等边△ABC边BC上的点 .

（1）（3分）如图1,过点M作MN∥AC，且交AB于点N ，求证：BM=BN；

（2）（7分）如图2，联结AM，过点作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H ，过H作HD BC于点D.

①求证： MA=MH；  ②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式，并加于证明；

（3）（4分）如图3，（2）中其它条件不变，若点M在BC延长线上时,（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）.

         

图1                      图2                         图3

Answer 1

(1)证明: ∵MN∥AC

∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°………1分

∴∠BMN=∠BNM………2分

∴BM=BN………3分

（2）①证明：过M点作MN∥AC交AB于N………4分

则BM=BN，∠ANM=120°

∵AB=AC  ∴AN=MC

又因为CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°

∴∠HMC=∠MAN

∴△AMN≌△MHC………6分

∴MA=MH………7分

②CB=CM+2CD………8分

证明：过M点作MG⊥AB于G

则△BMN为等边三角形,BM=2BG

在△BMG和△CHD中

∵HC=MN=BM, ∠B=∠HCD,  ∠MGB=∠HDC

∴△BMG≌△CHD………9分

∴CD=BG  ∴BM=2CD

所以BC=MC+2CD………10分

(3)          (2)中结论①成立, ②不成立, ………12分

  CB=2CD- CM ………14分