Question

10．如图，直线y=2x与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点A（m，2）．
（1）求k的值；
（2）将直线y=2x向下平移交y轴于B，交双曲线于P，△AOP的面积为2，求直线PB的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A（m，2）代入直线y=2x求出m=1，得出A（1，2），即可得出结果；
（2）作AM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，设P（a，b），则ab=2①，由梯形AMNP的面积得出$\frac{1}{2}$（2+b）（a-1）=2①，由①②求出a和b的值，得出P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），设直线PB的解析式为y=2x+b，把点P坐标代入求出b=-4即可．

解答 解：（1）把A（m，2）代入直线y=2x得：m=1，
∴A（1，2），
∴k=1×2=2；
（2）作AM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，如图所示：
设P（a，b），则ab=2，
∵双曲线y=$\frac{2}{x}$，
∴△AOM的面积=△PON的面积=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵△AOP的面积为2，
∴梯形AMNP的面积=2，即$\frac{1}{2}$（2+b）（a-1）=2①，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1+\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{2}}\\{b=-2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），
∵直线PB与直线y=2x平行，
∴设直线PB的解析式为y=2x+b，
把点P坐标代入得：2+2$\sqrt{2}$+b=2$\sqrt{2}$-2，
解得：b=-4，
∴直线PB的解析式为y=2x-4．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，两条直线的平行关系、坐标与图形性质；求出点P的坐标是解决问题（2）的关键．