Question

在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；

（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；
（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先利用翻折变换的性质得出：△AOE≌△AFE，进而利用HL得出Rt△EFG≌Rt△EBG，进而求出CG和BG的长即可得出答案；
（2）分别根据当点C为好圆的圆心时，则CQ=CP，当点P为圆的圆心时，则PC=PQ，当点Q为圆心时，则QC=PQ，利用勾股定理以及相似三角形的性质得出P点坐标即可．

解答：解：（1）如图①，连接EG，
由题意得：△AOE≌△AFE，
∴∠EFG=∠OBC=90°，
又∵E是OB的中点，
∴EG=EG，EF=EB=4．
在Rt△EFG和Rt△EBG中

EG=EG EF=EB

∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，
∴△AOE∽△AEG，
∴AE²=AO?AG，
即36+16=6×AG，AG=

26

3

，
可得：CG=

10

3

，BG=

8

3

．
∴G的坐标为（8，

8

3

）；

（2）设运动的时间为t秒，
当点C为圆心时，则CQ=CP，
即：2t=10-4t，
得到t=

5

3

，
此时CP=2×

5

3

=

10

3

，AP=8-

10

3

=

14

3

，
P点坐标为(

14

3

，6)．         
当点P为圆心时，则PC=PQ，
如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CEQ∽△CAO，
∴EQ=

3

5

CQ=

3

5

(10-4t)=6-

12

5

t，
PE=

4

5

(10-4t)-2t=8-

26

5

t，
则(6-

12

5

t)2+(8-

26

5

t)2=(2t)2，
化简得：36t²-140t+125=0，
解得：t1=

25

18

，t2=

5

2

（舍去），
此时，AP=8-

25

18

×2=

47

9

，P点坐标为(

47

9

，6)，
当点Q为圆心时，则QC=PQ，
如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CFQ∽△CAO，
∴QF=

3

5

(10-4t)=6-

12

5

t，
PF=2t-

4

5

(10-4t)=

26

5

t-8．
则 (6-

12

5

t)2+(

26

5

t-8)2=(10-4t)2，
整理得

21

5

t2-8t=0，
解得：t1=

40

21

，t2=0（舍去）．
此时，AP=8-

40

21

×2=

88

21

，P点坐标为(

88

21

，6)，
综上所述，P点坐标为(

14

3

，6)，(

47

9

，6)，(

88

21

，6)．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论以及数形结合得出P点坐标是解题关键．