Question

边长分别为1+

2

，1+2

2

，1+3

2

，1+4

2

的正方形的面积记作S₁、S₂、S₃、S₄
（1）分别计算S₂-S₁；S₃-S₂；S₄-S₃的值．
（2）边长为1+n

2

的正方形的面积记作S_n，其中n是不小于2的正整数，观察（1）的计算结果，你能猜出S_n-S_n-1等于多少吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的面积公式分别求出边长分别为1+

2

，1+2

2

，1+3

2

，1+4

2

的正方形的面积记作S₁、S₂、S₃、S₄，进而求出S₂-S₁；S₃-S₂；S₄-S₃的值．
（2）先猜测出结果，然后说明理由，分别求出边长为1+n

2

的正方形的面积记作S_n和边长为1+（n-1）

2

的正方形的面积记作S_n-1，即可计算出S_n-S_n-1的值．

解答：解：（1）S₂-S₁=6+2

2

，
S₃-S₂=10+2

2

，
S₄-S₃=14+2

2

；

（2）S_n-S_n-1=2(2n-1)+2

2

，
边长为1+n

2

的正方形的面积记作S_n=(1+n

2

)2，
边长为1+（n-1）

2

的正方形的面积记作S_n-1=[1+(n-1)

2

]2．
故S_n-S_n-1=(1+n

2

)2-[1+(n-1)

2

]2=2（2n-1）+2

2

．

点评：本题主要考查正方形的性质和归纳猜测的知识点，熟练掌握正方形的面积公式是解答本题的关键，本题难度不大．