Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点D与点E关于BC对称．
（1）四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？
（2）若AB=AD=

1

2

BC，说明四边形ABEC为矩形．

Answer 1

分析：（1）根据点D与点E关于BC对称，得到△DBC≌△EBC，由等腰梯形的性质得到AB=EC，BE=AC，推出四边形ABEC是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AE，再利用对角线相等的平行四边形是矩形．

解答：（1）答：四边形ABEC是平行四边形
证明：∵点D与点E关于BC对称
∴△BCD与△BEC关于BC轴对称
∴BD=BE，CD=CE
又∵AD∥BC，AB=CD
∴AC=BD
∴AC=BE，AB=CE
∴四边形ABEC是平行四边形

（2）证明：连接AE，交BC于M
∵平行四边形ABEC
∴AM=

1

2

AE，MC=

1

2

BC
又∵AB=AD=

1

2

BC
∴AD=MC
∵AD∥BC
∴四边形AMCD是平行四边形
又∵AD=AB，AB=CD
∴AD=DC
∴平行四边形AMCD是菱形
∴AM=MC，AE=BC
∴平行四边形ABEC是矩形

点评：本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定方法．