Question

请观察下列算式，找出规律并填空

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

则第10个算式是

 

=

 

，
第n个算式为

 

=

 

．
根据以上规律解答下题：
若有理数a，b满足|a-1|+（b-3）²=0，试求：

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

的值．

Answer 1

分析：根据所给的算式，可找出规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等于，则每一个非负数等于0，可求出a、b，再把a、b的值代入所求式子，利用公式

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+2

）进行计算即可．

解答：解：

1

10×11

；

1

10

-

1

11

；

1

n(n+1)

；

1

n

-

1

n+1

．
∵|a-1|+（b-3）²=0，
∴a=1，b=3，
∴

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

，
=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

，
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

101

-

1

103

），
=

1

2

×（1-

1

103

），
=

1

2

×

102

103

，
=

51

103

．

点评：本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0的知识．