Question

如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D；
（2）首先由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=；
（3）由（2）易得HC=（-4k），又由PD²=PA×PC，可得方程：（8k）²=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积．
解答：解：（1）PD与圆O相切．
理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠E，
∴∠PDA+∠ADE=90°，
即PD⊥DO，
∴PD与圆O相切于点D；

（2）∵tan∠ADB=
∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，
∴PA=（4-3）k，
∴PH=4k，
∴在Rt△PDH中，tan∠P==，
∴∠P=30°，∠PDH=60°，
∵PD⊥DO，
∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE•cos30°=；

（3）由（2）知，BH=-4k，
∴HC=（-4k），
又∵PD²=PA×PC，
∴（8k）²=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，
解得：k=4-3，
∴AC=3k+（25-4k）=24+7，
∴S_{四边形ABCD}=BD•AC=×25×（24+7）=900+．
点评：此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．