Question

在△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以点D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，如图（1），不添加辅助线，直接写出图中所有与△ADE相似的三角形（不需要证明）；
（2）将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM、DN分别交线段AC、AB于点E、F（点E与点A不重合，如图（2））
①求证：△BDF∽△CED；
②△BDF与△DEF是否相似？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出

BD

DF

，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

解答：（1）答：与△ADE相似的三角形有△ABD、△ACD、△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE；
        
（2）①证明：∵∠BFD=180°-∠B-∠BDF，∠EDC=180°-∠EDF-∠BDF，
又∵∠B=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED；                   
②△BDF∽△DEF．                      
证明：∵△BDF∽△CED，
∴

FD

DE

=

BF

CD

，
∵BD=CD，
∴

FD

DE

=

BF

BD

，
∴

FD

BF

=

DE

BD

．
又∵∠EDF=∠B，
∴△BDF∽△DEF．

点评：此题主要考查了相似三角形判定与性质以及三角形面积计算，熟练应用相似三角形的性质与判定得出对应用边与对应角的关系是解题关键．