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古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10 ,…这样的数称为“三角形
数”(如图①),而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”(如图②).如果规定
,
,
,
,…;
,
,
,
,…;
,
,
,
,…,那么,按此规定,
,
=
(用含
n
的式子表示,
n
为正整数).
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78,
解析:
略
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18、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”,而把1、4、16┅这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
请再写出一个符合这一规律的等式:
25=10+15(答案不唯一)
.
(2013•澄海区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…,这样的数称为“正方形数”.
(1)第5个三角形数是
15
15
,第n个“三角形数”是
n(n+1)
2
n(n+1)
2
,第5个“正方形数”是
25
25
,第n个正方形数是
n
2
n
2
;
(2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④
25=10+15
25=10+15
,⑤
36=15+21
36=15+21
,….
请写出上面第4个和第5个等式;
(3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”(如图①),而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”(如图②). 如果规定a
1
=1,a
2
=3,a
3
=6,a
4
=10,…;b
1
=1,b
2
=4,b
3
=9,b
4
=16,…;y
1
=2a
1
+b
1
,y
2
=2a
2
+b
2
,y
3
=2a
3
+b
3
,y
4
=2a
4
+b
4
,…,那么,按此规定,y
6
=
78
78
,y
n
=
2n
2
+n
2n
2
+n
(用含n的式子表示,n为正整数).
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角数”;把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和,“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”
15
15
与
21
21
之和;“正方形数”n
2
可以写成两个相邻的“三角形数”
n(n-1)
2
n(n-1)
2
与
n(n+1)
2
n(n+1)
2
之和,其中n为大于1的正整数.
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
(1)下图反映了任何一个三角形数是如何得到的,认真观察,并在④后面的横线上写出相应的等式;
①1=1
②1+2=
(1+2)×2
2
=3
③1+2+3=
(1+3)×3
2
=6
④
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
;
(2)通过猜想,写出(1)中与第九个点阵相对应的等式
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
;
(3)从下图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵图,并在⑤看面的黄线上写出相应的等式.
①1=1
2
②1+3=2
2
③3+6=3
2
④6+10=4
2
⑤
10+15=5
2
10+15=5
2
;
(4)通过猜想,写出(3)中与第n个点阵相对应的等式
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n
2
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n
2
;
(5)判断225是不是正方形数,如果不是,说明理由;如果是,225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和?
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