已知:在四边形ABCD中.AD∥BC.AB⊥BC.AD=1.AB=2.BC=3．(1)如图1.P为射线AB上的一点.以PD.PC为边作平行四边形PCQD.证明:当AP=3时.平行四边形PCQD是菱形,(2)如图2.若P为AB边上一点.以PD.PC为边作平行四边形PCQD.过点Q作QH⊥BC.交BC的延长线于点H．①证明:∠ADP=∠HCQ,②证明:△APD≌△HQC,③在点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）如图1，P为射线AB上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，证明：当AP=3时，平行四边形PCQD
是菱形；
（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H．
①证明：∠ADP=∠HCQ；
②证明：△APD≌△HQC；
③在点P变化的过程中，对角线PQ的长存在最小值，请直接写出PQ长的最小值．

分析（1）首先根据勾股定理，判断出PD=PC，然后根据四边形PCQD是平行四边形，可得当AP=3时，平行四边形PCQD是菱形，据此判断即可．
（2）①首先根据AD∥BC，可得∠ADC=∠DCH；然后根据PD∥CQ，可得∠PDC=∠DCQ，据此判断出∠ADP=∠HCQ即可．
②首先根据四边形PCQD是平行四边形，可得PD=QC；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APD≌△HQC即可．
③首先判断出当点P是AB的中点时，对角线PQ的长最小，然后求出CH的最小值，即可求出PQ长的最小值是多少．

解答（1）证明：如图1，
，
∵AD=1，AB=2，BC=3，AP=3，
∴PB=AP-AB=3-2=1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AD⊥AB，
∴PD²=AD²+AP²=1²+3²=10，
∴PC²=PB²+BC²=1²+3²=10，
∴PD=PC，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴当AP=3时，平行四边形PCQD是菱形．

（2）①证明：如图2，
，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠HCQ．

②证明：如图3，
，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=QC，
在△APD和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠HCQ}\\{∠PAD=∠QHC=90°}\\{PD=QC}\end{array}\right.$（AAS）
∴△APD≌△HQC．

③解：如图4，
，
当点P是AB的中点时，对角线PQ的长最小，
∵AD=1，AP=2÷2=1，
∴PD²=1²+1²=2，
又∵QH=PB=2÷2=1，
∴CH=$\sqrt{{CQ}^{2}{-QH}^{2}}=\sqrt{{PD}^{2}{-QH}^{2}}$=$\sqrt{2-1}=1$，
∴PQ=BC+CH=3+1=4，
即PQ长的最小值为4．

点评（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．