Question

19．已知，点M是二次函数y=ax²（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，$\frac{1}{4a}$），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为$\frac{1}{8}$．
（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

Answer 1

分析 （1）设Q（m，$\frac{1}{8}$），F（0，$\frac{1}{4a}$），根据QO=QF列出方程即可解决问题．
（2）设M（t，t²），Q（m，$\frac{1}{8}$），根据K_OM=K_OQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．
（3）设M（n，n²）（n＞0），则N（n，0），F（0，$\frac{1}{4}$），利用勾股定理求出MF即可解决问题．

解答 解：（1）∵圆心Q的纵坐标为$\frac{1}{8}$，
∴设Q（m，$\frac{1}{8}$），F（0，$\frac{1}{4a}$），
∵QO=QF，
∴m²+（$\frac{1}{8}$）²=m²+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4a}$）²，
∴a=1，
∴抛物线为y=x²．
（2）∵M在抛物线上，设M（t，t²），Q（m，$\frac{1}{8}$），
∵O、Q、M在同一直线上，
∴K_OM=K_OQ，
∴$\frac{{t}^{2}}{t}$=$\frac{\frac{1}{8}}{m}$，
∴m=$\frac{1}{8t}$，
∵QO=QM，
∴m²+（$\frac{1}{8}$）²=（m-t）²=（$\frac{1}{8}$-t²）²，
整理得到：-$\frac{1}{4}$t²+t⁴+t²-2mt=0，
∴4t⁴+3t²-1=0，
∴（t²+1）（4t²-1）=0，
∴t₁=$\frac{1}{2}$，t₂=-$\frac{1}{2}$，
当t₁=$\frac{1}{2}$时，m₁=$\frac{1}{4}$，
当t₂=-$\frac{1}{2}$时，m₂=-$\frac{1}{4}$．
∴M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），Q₁（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$），M₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），Q₂（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$）．
（3）设M（n，n²）（n＞0），
∴N（n，0），F（0，$\frac{1}{4}$），
∴MF=$\sqrt{{n}^{2}+（{n}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（{n}^{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$=n²+$\frac{1}{4}$，MN+OF=n²+$\frac{1}{4}$，
∴MF=MN+OF．

点评 本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．