Question

13．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由OH和tan∠AOH的值即可求出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值和点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）将x=0代入直线AB的解析式中求出y值，由此即可得出OC的长度，再根据三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．

解答 解：（1）∵OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，
∴AH=OH•tan∠AOH=4，
∴点A的坐标为（-4，3）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=-4×3=-12，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$．
∵点B（m，-2）在反比例函数y=-$\frac{12}{x}$的图象上，
∴m=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴点B的坐标为（6，-2）．
将A（-4，3）、B（6，-2）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=3}\\{6a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+1=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴OC=1，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AH=$\frac{1}{2}$×1×4=2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标．