Question

我们规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如a^c=b，那么（a，b）=c，例如：2³=8，记作（2，8）=3。
（1）证明：对于任意自然数n，都有（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4）；
（2）证明：（3，4）+（3，5）=（3，20）。

Answer 1

解：（1）令（3ⁿ，4ⁿ）=x，则3^nx=4n，
所以（3x）ⁿ= 4ⁿ，
所以3^x=4，即（3，4）=x，
所以（3ⁿ，4ⁿ）=（3，4）；
（2）设（3，4）=m，（3，5）=n，则3^m=4，3ⁿ=5，
所以3^m·3ⁿ=3^m+n=4×5=20，即（3，20）=m+n，
所以（3，4）+ （3，5）=（3，20）。