Question

若关于未知数x的方程x²+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根，求证：p+q＜

1

4

．

Answer 1

分析：先由方程没有实数根，得△＜0，得到q＜-p²，再经过代数式变形有p+q＜-p²+p=-（p-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

．

解答：证明：∵关于未知数x的方程x²+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根，
∴△=4p²+4q＜0
∴q＜-p²，
所以有：p+q＜-p²+p，
而-p²+p=-（p-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
∴p+q＜

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了配方法．