Question

如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边交于点F．
①若BE=1，EC=2，则sin∠EDC=

 

；
②若BE：EC=1：4，则BF：AF=

 

．

Answer 1

分析：①由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，即可得DE=AD=BC=2，又由BE=1，EC=2，即可求得EC的值，然后由sin∠EDC=

EC

ED

即可求得答案；
②由同角的余角相等，即可求得∠BFE=∠DEC，然后由余弦三角函数的性质，即可得BF：EF的值，由折叠的性质，即可得BF：AF的值．

解答：解：①∵BE=1，EC=2，
∴BC=BE+EC=3
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠的性质可得：ED=AD=BC=3，
∵BE=1，
在Rt△DEC中，sin∠EDC=

EC

ED

=

2

3

；

②∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠的性质可得：∠DEF=∠A=90°，AD=DE=BC，AF=EF，
∵BE：EC=1：4，
∴BE=x，EC=4x，
∴DE=5x，
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠CED=90°，
∴∠BFE=∠CED，
∴cos∠EFB=cos∠CED=

EC

ED

=

4

5

=

BF

EF

，
∴BF：AF=BF：EF=4：5．
故答案为：①

2

3

，②4：5．

点评：此题考查了折叠的性质，三角函数，矩形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．