Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
（1）若∠AOC=48°，求∠ACD的度数；
（2）若AB=8，AD=2，求AC的长．

Answer 1

（1）解：∵OA=OC，∠AOC=48°，
∴∠OAC=∠OCA=66°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD=90°-∠OCA=24°．

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵OC⊥CD，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，∠ACD+∠OCA=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC²=AB•AD=16，
∴AC=4．
分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠OCA，根据切线性质求出∠OCD，即可求出答案；
（2）证△ACD∞△ABC，得出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查关了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．