Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
（3）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，点P到直线AG的距离最大？求出此时P点的坐标和点P到直线AG的最大距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；（需注意的是圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，需要分类讨论）
（3）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．
解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得
解得：
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）
将C点的坐标代入得：a=1
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）如图，
①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得；
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，解得，
∴圆的半径为或；

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；

当时，△APG的面积最大为；
∵，P到AG的最大距离为，
此时P点的坐标为．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、图形面积的求法等知识，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．