Question

【题目】某市新建了圆形文化广场，小杰和小浩准备不同的方法测量该广场的半径.

（1）小杰先找圆心，再量半径，请你在图1中，用尺规作图的方法帮小杰找到该广场的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）小浩在广场边（如图2）选取、、三根石柱，量得、之间的距离与、之间的距离相等，并测得长为240米，到的距离为5米.请你帮他求出广场的半径；

（3）请你解决下面的问题：如图3，的直径为，弦，是弦上的一个动点，求出的长度范围是多少？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）广场的半径1443米；（3）.

【解析】

（1）作出弦的垂直平分线，再结合垂径定理推论得出圆心位置；

（2）设圆心为O，连结 OA、OB，OA交BC于D，根据A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，得出，从而得出BD=DC=BC，再根据勾股定理得出OB2=OD2+BD2，设OB=x，即可求出广场的半径；

（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．

解：如图1所示，在圆中作任意2条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这2条垂直平分线必定与圆的2条直径重合，所以交点即为所求；

（2）如图2，连结、，交于，

∵，

∴，

∴，

∴（米），

由题意，

在中，，

设，则，

解得：，

，

∴广场的半径1443米.

（3）如图3，过点作于点，连接，

∵，

∴，

∵的直径为，

∴，

∴，

∵垂线段最短，半径最长，

∴.