Question

（1）如图（1），BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D．请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠D=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入即可得到∠BDC=90°+

1

2

∠A；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=

1

2

∠EBC，∠DCB=

1

2

∠FCB，利用邻补角的定义有∠DBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠DCB=

1

2

（180°-∠ACB），则∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（360°-∠ABC-∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入整理得到∠BDC=90°-

1

2

∠A；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，根据三角形外角性质得∠DCE=∠DBC+∠D，所以∠D=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ACE-∠ABC）=

1

2

∠A．

解答：解：（1）∠BDC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-

1

2

（180°-∠A），
即∠BDC=90°+

1

2

∠A；

（2））∠BDC=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠EBC，∠DCB=

1

2

∠FCB，
∴∠DBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠DCB=

1

2

（180°-∠ACB），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（360°-∠ABC-∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-

1

2

（360°-180°+∠A），
即∠BDC=90°-

1

2

∠A；

（3）∠BDC=

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ACE-∠ABC）=

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．