题目内容

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB= $数学公式$ ，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点，
∵OB= $\text{[math]}$ ，
∴G（ $\text{[math]}$ ，0）．

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB= $\text{[math]}$ ，
∴cos30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

即AB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=2，在Rt△CBH中，CH= $\text{[math]}$ BC=1，BH= $\text{[math]}$ ，
∴OH= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴C（ $\text{[math]}$ ，-1），
∵∠DGO=60°，
∴OG= $\text{[math]}$ OB= $\text{[math]}$ ，
∴OD= $\text{[math]}$ tan60°=4，
∴D（0，4），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
∴y=- $\text{[math]}$ x+4；

（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，

设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°，
∴OE=2，PE=2 $\text{[math]}$ ，
∴Q（2，4-2 $\text{[math]}$ ）．

②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°，
∴OF=2，PF=2 $\text{[math]}$ ，
∴QF=4+2 $\text{[math]}$
∴Q（-2，4+2 $\text{[math]}$ ）．

③如图，当PD=DQ=QO=OP= $\text{[math]}$ 时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴MQ= $\text{[math]}$ DQ= $\text{[math]}$
∴Q（ $\text{[math]}$ ，2）．

④如图，当OD=OQ=QP=DP=4时，四边形DOQP为菱形，
设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ=∠ODQ=30°，
在Rt△ONQ中，NQ= $\text{[math]}$ OQ=2，

∴ON=2 $\text{[math]}$ ，
∴Q（2 $\text{[math]}$ ，-2）；
综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4-2 $\text{[math]}$ ），（-2，4+2 $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，2），（2 $\text{[math]}$ ，-2）；
分析：（1）根据DC是AB垂直平分线，得出G点为OB的中点，再根据OB的值，即可求出点G的坐标；
（2）先过点C作CH⊥x轴，在Rt△ABO中，根据∠ABO的度数和OB的值求出AB的长，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出点D的坐标，再设直线CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直线CD的解析式；
（3）首先判断出存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，再分四种情况进行讨论，根据条件画出图形，分别根据Q点的不同位置求出Q的坐标即可．
点评：此题考查了一次函数的综合应用；解题的关键是对（3）中Q点的不同位置分别进行求解，不要漏掉．