题目内容
已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）如图，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．
①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；
②当t＞4时，设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E，问：是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）设PN与x轴交于点D，先由矩形的性质得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根据相似三角形对应边成比例得出
=
=
，求得OD=
，PD=
，即可确定P点的坐标；
（2）①分三种情况进行讨论：（i）当0＜t≤
时，设PQ与y轴交于点E，则S=S矩形ODPE=OD•PD；（ii）当
＜t≤
时，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S矩形PQFD=PQ•PD；（iii）当
＜t＜4时，S=S正方形PQMN；
②分三种情况进行讨论：（i）当4＜t≤5时，根据三角形外角的性质得出∠DPE＞∠DBE=90°，则△PDE不可能为直角三角形；（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；（iii）当t＞5时，由于∠DPE＜∠DBE=90°，则当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可．
| OD |
| OA |
| PD |
| AB |
| OP |
| OB |
| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
（2）①分三种情况进行讨论：（i）当0＜t≤
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
②分三种情况进行讨论：（i）当4＜t≤5时，根据三角形外角的性质得出∠DPE＞∠DBE=90°，则△PDE不可能为直角三角形；（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；（iii）当t＞5时，由于∠DPE＜∠DBE=90°，则当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可．
解答：
解：（1）设PN与x轴交于点D，如图1．
∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB=
=5．
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OBA，
∴
=
=
，
=
=
，
∴OD=
，PD=
，
∴P点的坐标为（
，
）；
（2）①分三种情况：
（i）当0＜t≤
时，如图1，设PQ与y轴交于点E，则S=S矩形ODPE．
由（1）知OD=
，PD=
，
∴S=OD•PD=
•
=
t2；
（ii）当
＜t≤
时，如图2，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S矩形PQFD．
∵PQ=2，PD=
，
∴S=PQ•PD=2•
=
t；
（iii）当
＜t＜4时，如图3，S=S正方形PQMN=2×2=4；
综上所述，当t＜4时，求S与t之间的函数关系式为S=
；
②由题意，知t＜5+2
．如图5，分三种情况：
（i）当4＜t≤5时，
∵∠DPE＞∠DBE=90°，
∴△PDE不可能为直角三角形；
（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；
（iii）当t＞5时，
∵∠DPE＜∠DBE=90°，
∴当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．
若∠PDE=90°，则△PQD∽△DME，
∴PQ：DQ=DM：ME，即2：（
t-3）=（5-
t）：（6-
t），
整理，得9t2-160t+675=0，
解得t=
，
∵t＜5+2
，
∴t=
；
若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，
∴PN：NE=EM：MD，即2：（
t-4）=（6-
t）：（5-
t），
整理，得8t2-115t+425=0，
∵△=1152-4×8×425=-375＜0，
∴t无实数根，
综上所述，所有符合条件的t的值为t=5或t=
．
解：（1）设PN与x轴交于点D，如图1．∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB=
| OA2+AB2 |
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OBA，
∴
| OD |
| OA |
| PD |
| AB |
| OP |
| OB |
| OD |
| 4 |
| PD |
| 3 |
| t |
| 5 |
∴OD=
| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
∴P点的坐标为（| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
（2）①分三种情况：
（i）当0＜t≤
| 5 |
| 2 |
由（1）知OD=
| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
∴S=OD•PD=
| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
（ii）当
| 5 |
| 2 |
| 10 |
| 3 |
∵PQ=2，PD=| 3t |
| 5 |
∴S=PQ•PD=2•
| 3t |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（iii）当
| 10 |
| 3 |
综上所述，当t＜4时，求S与t之间的函数关系式为S=
|
②由题意，知t＜5+2| 2 |
（i）当4＜t≤5时，
∵∠DPE＞∠DBE=90°，
∴△PDE不可能为直角三角形；
（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；
（iii）当t＞5时，
∵∠DPE＜∠DBE=90°，
∴当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．
若∠PDE=90°，则△PQD∽△DME，
∴PQ：DQ=DM：ME，即2：（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
整理，得9t2-160t+675=0，
解得t=
80±5
| ||
| 9 |
∵t＜5+2
| 2 |
∴t=
80-5
| ||
| 9 |
若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，
∴PN：NE=EM：MD，即2：（
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
整理，得8t2-115t+425=0，
∵△=1152-4×8×425=-375＜0，
∴t无实数根，
综上所述，所有符合条件的t的值为t=5或t=
80-5
| ||
| 9 |
点评：本题是关于动点问题的相似形综合题，其中涉及到矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，图形的面积等知识，综合性较强，难度较大．在解决动点问题时，采用数形结合及分类讨论的数学思想，能使问题形象直观，从而有助于解题．
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A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
| 2x-4 |
| A、x≥2 | ||
| B、x＞2 | ||
| C、x≠2 | ||
D、x≥
|
