Question

（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，

∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；

∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；

方案（Ⅱ）可行．

证明：在△OPM和△OPN中，

，

∴△OPM≌△OPN（SSS），

∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；

∴OP就是∠AOB的平分线．

（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；

∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，

∴∠AOB=90°，

∵PM=PN，

∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），

当∠AOB不为直角时，此方案不可行；

因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．