Question

如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴负半轴上，∠AOC=60°，OA=4

（1）点C的坐标为

 

；
（2）如图（2），将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°，得到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于E，则直线CE的解析式为

 

；
（3）设A′B′交直线OA、CA于点M、N，则四边形MNCE的面积为

 

平方单位．

Answer 1

分析：（1）首先在Rt△ACO中，根据∠AOC=60°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）可证△COE为等边三角形，过E点作x轴的垂线，垂足为F，解直角三角形求E点坐标，可求直线CE的解析式；
（3）由CE=CO=2，A′C=AC=2

3

，得到A′E=AN=2

3

-2，解Rt△AMN，求AM，MN，用S_{四边形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN，求解．

解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）；

（2）由旋转的性质可知∠ECO=90°-∠ACA′=60°，
又∵∠AOC=60°，
∴△COE为等边三角形，过E点作x轴的垂线，垂足为F，

在Rt△OEF中，
∵∠AOC=60°，
∴OF=FC=1，EF=

3

，
将C（-2，0），E（-1，

3

）代入直线CE：y=kx+b中得

-2k+b=0 -k+b= 3

，
解得

k= 3 b=2 3

，
∴直线CE：y=

3

x+2

3

；

（3）∵CE=CO=2，A′C=AC=2

3

，
∴A′E=AN=2

3

-2，
在Rt△AMN中，MN=

1

2

AN=

3

-1，AM=

3

MN=3-

3

，
∴S_{四边形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN
=

1

2

×2×2

3

-

1

2

×2×

3

-

1

2

×（

3

-1）×（3-

3

）
=3-

3

．

点评：本题主要考查了一次函数的综合，此题是开放性试题，把直角三角形、全等三角形，一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题．