Question

【题目】将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①）．

求的大小（结果用含的式子表示）；

又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②）求；

连接、，试探究当为何值时，．

Answer 1

【答案】 ； ； 当为时，．

【解析】

（1）由于线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，根据旋转的性质得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=90°﹣α，再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC﹣∠CBD进行计算；

（2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB=AE，∠BAE=60°，则AC=AE，∠CAE=60°﹣α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ACE=∠AEC=60°+α，然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE=150°；

（3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD=60°，CD=BC，所以∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以α=∠BAE=30°．

（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，∴AB=AC，∠BAC=α，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣α）=90°﹣α．

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴∠CBD=60°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=90°﹣α﹣60°=30°﹣α（0°＜α＜60°）；

（2）∵线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴AC=AE，∠CAE=60°﹣α，∴∠ACE=∠AEC=（180°﹣60°+α）=60°+α，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°﹣α+60°+α=150°；

（3）如图②．

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴BC=BD，∠CBD=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=60°，CD=BC，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=150°﹣60°=90°．

∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴CE=CD，∴CB=CE．

在△ABC和△AEC中，∵，∴△ABC≌△AEC（SSS），∴∠BAC=∠EAC，∴∠BAC=∠BAE=30°，即α=30°．

故当α为30°时，∠DEC=45°．