Question

1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（$\widehat{AB}$）．
（1）用直尺和圆规作出$\widehat{AB}$所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若$\widehat{AB}$的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求$\widehat{AB}$所在圆的半径．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为$\widehat{AB}$的中点得到OC⊥AB，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r²=（r-20）²+40²，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图1，

点O为所求；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，
∵C为$\widehat{AB}$的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD-CD=r-20，
在Rt△OAD中，∵OA²=OD²+AD²，
∴r²=（r-20）²+40²，解得r=50，
即$\widehat{AB}$所在圆的半径是50m．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．