题目内容
如图的平面直角坐标系中，抛物线y=-| 4 |
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于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．（1）求OC和OB的长；
（2）抛物线的对称轴l在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交x轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE=m，PM=h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；
（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据抛物线的解析式，易求得B、C的坐标，即可得到OB、OC的长；
（2）若OE=m，即P、M的横坐标为m，可根据B、C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据抛物线和直线BC的解析式表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，即h的表达式，由此可求出h、m的函数关系式，根据函数的性质及自变量的取值范围即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，对应相等，若所求的两个三角形相似，存在两种情况：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分别用m表示出BE、EM、CF、PF的长，根据上述两类相似三角形所得的不同比例线段即可求出m的值．
（2）若OE=m，即P、M的横坐标为m，可根据B、C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据抛物线和直线BC的解析式表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，即h的表达式，由此可求出h、m的函数关系式，根据函数的性质及自变量的取值范围即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，对应相等，若所求的两个三角形相似，存在两种情况：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分别用m表示出BE、EM、CF、PF的长，根据上述两类相似三角形所得的不同比例线段即可求出m的值．
解答：解：（1）对于y=-
x2+
x+4，
当x=0时，y=4；
当y=0时，-
x2+
x+4=0，
解得x1=-1，x2=3；（2分）
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）；
∴OC=4，OB=3；（3分）
（2）∵抛物线的对称轴l⊥x轴，在边PE∥l，
∴PE⊥x轴；
∵OE=m，
∴点P的横坐标为m；
∵点P在抛物线y=-
x2+
x+4上，
∴点P的纵坐标为-
m2+
m+4；
∴PE=-
m2+
m+4；（4分）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=
=
；
在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=
（3-m）=4-
m；（5分）
∴PM=PE-ME=-
m2+
m+4-4+
m=-
m2+4m；
∴h与m的函数关系式为h=-
m2+4m（0＜m＜3）（6分）
又h=-
m2+4m=-
(m2-3m+
-
)=-
(m-
)2+3，
∵-
＜0，
∴当m=
时，h有最大值为3，
∴PM的最大值为3；（8分）
（3）①当m=
时，△PFC∽△BEM，此时△PCM为直角三角形（∠PCM为直角）；（10分）
②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．（12分）
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当x=0时，y=4；
当y=0时，-
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解得x1=-1，x2=3；（2分）
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）；
∴OC=4，OB=3；（3分）
（2）∵抛物线的对称轴l⊥x轴，在边PE∥l，
∴PE⊥x轴；
∵OE=m，
∴点P的横坐标为m；
∵点P在抛物线y=-
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∴点P的纵坐标为-
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∴PE=-
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在Rt△BOC中，tan∠OBC=
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在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=
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∴PM=PE-ME=-
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∴h与m的函数关系式为h=-
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又h=-
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∵-
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∴当m=
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∴PM的最大值为3；（8分）
（3）①当m=
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②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．（12分）
点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、二次函数的应用以及相似三角形的判定和性质；要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
练习册系列答案
53天天练系列答案
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