题目内容

四边形是我们大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质，只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．

(1)四边形的一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图①)其中相对的两个三角形的面积之积相等，你能够证明这个结论吗？试试看．

已知：四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点，(图①)

求证：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD

(2)在三角形中(如图②)，你能否归纳出类似的结论，若能够，写出你猜想的结论，并证明；若不能够，说明理由．

答案：
解析：

　　(1)证明：分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOBBO·AE

　　S△CODDO·CF

　　S△AODDO·AE

　　S△BOCBO·CF

　　∴S△AOB·S△CODBO·DO·AE·CF

　　S△AOD·S△BOCBO·DO·CF·AE

　　∴S△AOB·S△COD＝S△AOD·S△BOC.　　4分

　　(2)能.

　　从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等.

　　或S△AOD·S△BOC＝S△AOB·S△DOC　　5分

　　已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点

　　求证：S△AOD·S△BOC＝S△AOB·S△DOC

　　证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，

　　则有：S△AODDO·AE，S△BOCBO·CF

　　S△OABOB·AE，S△DOCOD·CF

　　∴S△AOD·S△BOCOB·OD·AE·CF

　　S△OAB·S△DOCBO·OD·AE·CF

　　∴S△AOD·S△BOC＝S△OAB·S△DOC　　8分


练习册系列答案
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四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
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四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
（2004•青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
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求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
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求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
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