Question

3．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，己知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．

解答 （1）证明：∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
则$\widehat{AB}$=$\widehat{DC}$，
∴AB=CD；

（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=4$\sqrt{3}$，
∴BD=8$\sqrt{3}$，
则四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=96；

（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMB=∠OEA}\\{∠OBM=∠OAE}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴AD=2OM．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．