Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x²＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x²－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

Answer 1

解：∵方程(5＋b)x²＋2ax＋(5－b)＝0有两个相等的实数根，且c＝5，∴△＝(2a)²－4(c＋b)(c－b)=0，∴a²＋b²=c²,则△ABC为直角三角形，且∠C＝90°．设x₁，x₂是方程2x²－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个根，则根据根与系数的关系有x₁＋x₂＝5sin A，x₁·x₂＝sin A．∴x₁²＋x₂²=(x₁＋x₂)²－2x_l·x₂＝(5sin A)²－2×sin A=6，解得sinA=或sinA＝－(舍去)，∴a＝csin A＝3，b=＝4，S_△ABC＝ab==18．