Question

【题目】如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，．

　　　　　

如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为．

发现：直接写出、的数量关系．

探究：若

（1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角______°；

（2）扇形绕到点的右侧，当与相切时，求；

（3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，直接写出的度数；

延伸：如图3，若，当、、三点共线时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】发现；探究：（1）310；（2）；（3）或；延伸：或．

【解析】

发现：根据OA=OB，OP=O即可得到；

探究：（1）根据题意画出图形，由OP∥AB得到∠AOP=∠A=50°，即可求出旋转角；

（2）由与相切得到是直角三角形，根据勾股定理求出AP即可得到B；

（3）根据的面积=OQ乘以过点A作OQ的高线的积的一半，故当高线恰好是OA时，的面积最大，由此得到的度数；

延伸：根据题意画出图形，利用等腰三角形的三线合一的性质及三角函数求出OH，利用勾股定理求出AH，即可得到答案.

发现：∵OA=OB，OP=O，

∴OA-OP=OB-O，

即；

探究：

（1）如图：

∵，OA=OB，

∴∠A=∠B=50°，

∵OP∥AB，

∴∠AOP=∠A=50°，

∴旋转角 ，

故答案为：310；

（2）解：∵与相切，

∴即是直角三角形，

∴，

∴；

（3）∵点Q在上，

∴OQ=OP，

的面积=OQ乘以过点A作OQ的高线的积的一半，故当高线恰好是OA时，的面积最大，

∴=90°-80°=10°或=180°-10°=170°；

延伸：过点O作OH⊥P于H，如图1，

∵∠PO=90°，OP=O=6，

∴OH=PH=，

∵OA=10，

∴AH=,

∴B=AP=；

过点O作OH⊥P于H，如图2，

∵∠PO=90°，OP=O=6，

∴OH=PH=，

∵OA=10，

∴AH=,

∴B=AP=；

∴线段的长为或.