Question

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

(1)如图，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段________．

(2)在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由． 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

(3)如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AC； 　　(2)作图如图； 　　∵点P为AC中点， 　　∴PA＝PC＝AC. 　　∵∠ABC＝∠ADC＝90°， 　　∴BP＝DP＝AC， 　　∴PA＝PB＝PC＝PD， 　　∴点A、B、C、D在以P为圆心， 　　AC为半径的同一个圆上. 　　⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD， 　　∴四边形ABCD为损矩形， 　　∴由⑵可知，点A、B、C、D在同一个圆上. 　　∵AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴，∴AD＝CD， 　　∴四边形ACEF为正方形. 　　∵点BD平分∠ABC，BD＝， 　　∴点D到AB、BC的距离h为4， 　　∴＝6. 　　， 　　， 　　， 　　∵， 　　∴＋＝6＋2BC， 　　∴BC＝5或BC＝－3(舍去)， 　　∴BC＝5．