Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线经过原点，与交于点轴于点，点D的坐标为反比例函数的图象恰好经过两点.

(1)求的值及所在直线的表达式;

(2)求证:.

(3)求的值.

Answer 1

【答案】（1）-2，；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据菱形的性质及反比例函数的对称性可以推出，再根据点D的坐标即可得到点P的坐标，从而得出k的值；根据点P的坐标可以得出直线的表达式，最后根据OP和AC的关系即可得出直线的表达式；

（2）由己等边对等角即可推出；

（3）由已知可求得点B的坐标，根据勾股定理可求得OB的值，最后根据同角的余弦即可得出答案.

解：（1）∵在菱形中，对角线与互相垂直且平分，

，

经过原点，且反比例函数的图象恰好经过两点，

由反比例函数图象的对称性知：，

.

点的坐标为，

点的坐标为，

，则；

设直线的表达式为，将点代入得，

∴直线的表达式为，

设直线的表达式为，

于点，

将点及，代入，

得:，

直线的表达式为.

（2）证明：由条件得，，

，

；

（3），

又与关于原点对称，

在中，，从而.

则.