Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
【小题1】当x为何值时，△APD是等腰三角形？
【小题2】若设BE=y，求y关于x的函数关系式
【小题3】若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
   

Answer 1

【小题1】 过D点作DH⊥AB于H ，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6  ∴AH=2，AD=2·
∵AP=x，  ∴PH=x－2，
情况①：当AP=AD时，即x=2·
情况②：当AD=PD时，则AH="PH" ∴2=x－2，解得x=" 4"
情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x²=4²+(x－2)²，解得x=5··
∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形···

【小题1】易证：△DPH∽△PEB 
∴，∴ 整理得：y=(x－2)(8－x)=－x²+x－4··
【小题1】若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x²+x－4=4，整理得： x²－10x+32=0
∵△=(－10)²－4×32<0，∴原方程无解， ∴不存在点P，使得PQ经过点C
当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C。

解析