Question

如图，已知ABC中，AB =AC，BAC= 90，分别过点B、C向过A的直线EF作垂线，垂足分别为点E、F．
  (1)如图1，①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF= BE+ CF;
  (2)如图2，②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE =10，CF =3,试求FE的长．

               图1                 图2

Answer 1

(1)证明：∵BEEF，CFEF，∴BEF=CFE= 90
 ∴在Rt△ABE中，BEF= 90，∴ABE+BAE= 90.
∵BAC= 90，∴BAE+CAF =90，∴ABE=CAF.
  在△ABE与△CAF中，
  
 ∴△ABE≌△CAF，即 BE =AF，CF= AE. EF =AE +AF.
 ∴EF= BE+ CF.
  (2)解：∵BEAF, CFAF．∴AEB=AFC=90,
在Rt△ABE中， AEB =90, ∴ABE+BAE= 90.∵BAC=90
∴BAE+ CAF =90,即ABE=CAF.在△ABE与△CAF中，
  
   ∴△ABE≌△ACF. ∴AE=CF，AF= BE，∵EF =AFAE,
  ∴EF= BECF= 103=7．