Question

如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=

1

2

．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探索：在（2）的条件下：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是

1

4

；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：本题考查一次函数的综合应用，在（1）中需根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；（2）中利用把△AOB的面积表示出来，在根据x与y之间的关系代入整理；（3）代入求值即可，同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找．

解答：解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=

1

2

=

OB

OC

，
∴OB=

1

2

；
∴B点坐标为：(

1

2

，0)；
把B点坐标为：(

1

2

，0)代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=

1

2

•OB•|y|，y=kx-1，
∴S=

1

2

×

1

2

（2x-1）；
∴S=

1

2

x-

1

4

；

（3）①当S=

1

4

时，

1

2

x-

1

4

=

1

4

，
∴x=1，y=2x-1=1；
∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为

1

4

；
②存在．
满足条件的所有P点坐标为：
P₁（1，0），P₂（2，0），P₃（

2

，0），P₄（-

2

，0）．（12分）
（注：每题只给出一种解法，如有不同解法请参照评分意见给分）

点评：本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．