题目内容
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，点A为（-4，3），将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使得△QBB1为以BB1为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
（3）根据待定系数法，可得BB1的解析式，过B点垂直BB1的解析式，过B1点垂直BB1的解析式，根据解方程组，可得垂直BB1的直线与抛物线的交点坐标，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
解答 解：（1）∵AB⊥x轴，A（-4，3），OB=4，
∴B（-4，0），B1（0，-4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}$x-4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}$x-4上的一点，
如图1，点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=$\frac{1}{3}$m2+$\frac{1}{3}$m-4．
于是PC=|n|=-n=-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{1}{3}$m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-S△OBB1
=$\frac{1}{2}$×BC×PC+$\frac{1}{2}$×（PC+OB1）×OC-$\frac{1}{2}$×OB×OB1
=$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{1}{3}$m+4）+$\frac{1}{2}$×[（-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{1}{3}$m+4）+4]×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-$\frac{2}{3}$m2-$\frac{8}{3}$m
=-$\frac{2}{3}$（m+2）2+$\frac{8}{3}$，
当m=-2时，△PBB1的面积最大，这时，n=-$\frac{10}{3}$，即点P（-2，-$\frac{10}{3}$）；
（3）在第三象限内，抛物线上不存在点Q，使得△QBB1为以BB1为直角边的直角三角形，理由如下：
BB1的解析式为y=-x-4，
过B点垂直BB1的解析式为y=x+4，
过B1点垂直BB1的解析式为y=x-4，
①联立抛物线与过B点垂直BB1的直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，
消元化简，得x2-2x-24=0，
解得x1=-4，x2=6，
当x1=-4时，y=0，即点的坐标是（-4，0），
点（-4，0）不在第三象限，
当x=6时，y=6+4=10，即交点坐标（6，10），
点（6，10）不在第三象限；
②联立抛物线与过B1点垂直BB1的直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，
消元化简，得x2-2x=0，
解得x1=0，x2=2，
当x1=-0时，y=-4，即点的坐标是（0，-4），
点（0，-4）不在第三象限，
当x=2时，y=2-4=-2，即交点坐标（2，-4），
点（2，-4）不在第三象限；
综上所述，垂直BB1的直线与抛物线的交点都不在第三象限，
在第三象限内，抛物线上不存在点Q，使得△QBB1为以BB1为直角边的直角三角形．
点评 本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
优学名师名题系列答案| A． | （-4，-1） | B． | （1，-4） | C． | （-5，1） | D． | （-1，4） |
如图，点Q是等边△ABC的边BC上一点，以AQ为边作等边△AQP，求证：PC∥AB．
如图，M、N是正五边形ABCDE各边上的两个动点，若它们分别从顶点A、D出发，同时沿正五方形的边移动，M点以顺时针方向移动，N点以逆时针方向移动，假设点M的速度是点N的速度的5倍，则它们第2014次相遇在（ ）边上．
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