Question

17．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交AC于点E，交DC于点F，求证：OE=$\frac{1}{2}$DF．

Answer 1

分析 作OG∥AB交BE于点G，则OG是△BDF的中位线，根据正方边形的性质求得∠AEB和∠ABE的度数，即可证明OG=OE，据此即可证得结论．

解答 证明：如图，作OG∥AB交BE于点G．

∵O是BD的中点，
∴OG是△BDF的中位线，
∴OG=$\frac{1}{2}$DF，
∵正方形ABCD中，∠ABD=∠DBC=45°，
又∵BF是∠DBC的平分线，
∴∠ABF=45°+$\frac{1}{2}$×45°=67.5°．
∵AB∥OG，
∴∠OGE=∠ABE=67.5°，
又∵在△ABE中，∠BAE=45°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠OGE=∠AEB，
∴OE=OG，
∴OE=$\frac{1}{2}$DF．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定定理的综合应用，正确作出辅助线是关键．