Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，点D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．

（1）判断DE与AE的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AB=AE+CE．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质得到OD⊥DE，因为点D是劣弧BC的中点，所以弧CD=弧BD，再根据圆周角定理得到∠ADO=∠EAD，根据平行线的判定和性质得到DE⊥AE；

（2）连接CD、BD,过点D作DF⊥AB垂足为F. 根据全等三角形的判定（HL）和性质进行求解，即可得到答案.

解：（1）DE⊥AE.

连接OD.

∵DE是⊙O的切线

∴OD⊥DE

∴∠ODE=90°

∵点D是劣弧BC的中点

∴弧CD=弧BD

∴∠EAD=∠DAB

∵OD=OA

∴∠ADO=∠DAB

∴∠ADO=∠EAD

∴OD∥AE

∴∠E=180°-∠ODE=90°

∴DE⊥AE

（2）连接CD、BD,过点D作DF⊥AB垂足为F.

∵DF⊥AB，DE⊥AE

∴∠ADF=∠E=90°

∵∠EAD=∠DAB,AD=AD

∴△ADE≌△ADF

∴AF=AE,DE=DF

∵弧CD=弧BD∴CD= BD

在Rt△BDF和Rt△CDE中，DE=DF ,CD= BD

∴Rt△BDF≌Rt△CDE

∴CE=BF

∵AB=AF+BF

∴AB=AE+CE.